Question

数学。急啊！

已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)相交于AB两点且线段AB的中点在直线l:x-2y=0上（1）求此椭圆的离心率（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x^2+y^2=4上求此椭圆方程

Answer 1

设A（x1，y1）、B（x2，y2），中点M（2m，m），所以有x1+x2=4m，y1+y2=2m，y1=-x1+1，y2=-x2+1，则（y1-y2）/（x1-x2)=-1，x12/a2+y12/b2=1，①，x22/a2+y22/b2=1，②，所以①-②得：（x1-x2)(x1+x2)/a2+（y1-y2)(y1+y2)/b2=0，即4m/a2-2m/b2=0，所以a2=2b2，又因为a2=b2+c2，所以a=c√2，所以离心率e=c/a=√2/2。

AB的中点M,在直线l：x-2y=0上,可设M(2n,n),n≠0，则
xA+xB=2xM=2*2n=4n
yA+yB=2yM=2n
a>b>0
椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x^2+y^2=4上，r=2
可知c=r=2
a^2=c^2+b^2=4+b^2
y=-x+1
k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=-1
x^2/a^2 + y^2/b^2=1
b^2*x^2+a^2 *y^2=a^2*b^2
b^2*(xA)^2+a^2 *(yA)^2=a^2*b^2......(1)
b^2*(xB)^2+a^2 *(yB)^2=a^2*b^2......(2)
(1)-(2):
b^2*(xA+xB)*(xA-xB)+a^2*(yA+yB)*(yA-yB)=0
b^2*(xA+xB)+a^2*(yA+yB)*(yA-yB)/(xA-xB)=0
b^2*4n+(4+b^2)^2*2n*(-1)=0
2n*(b^2-4)=0
n≠0
b^2=4,a^2=4+b^2=8
此椭圆的方程：x^2/8+y^2/4=1