Question

拉格朗日中值定理可以怎么推导？

Answer 1

拉格朗日中值定理的内容：

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　

(1)在[a,b]连续 　　

(2)在(a,b)可导 　　

则在(a,b)中至少存在一点f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) 成立，其中a<c<b

证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　

易证明此函数在该区间满足条件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在[a,b]连续; 　　

3.G(x)在(a,b)可导. 　　

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。

扩展资料

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

参考资料：百度百科-拉格朗日中值定理