Question

如图,ABCD为直角梯形,∠C=∠CDA=90°,AD=2BC=2CD,P为平面ABCD外一点,且PB⊥BD

(1)求证：PA⊥BD；
(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；
(3)若直线l过点P，且直线l‖直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC‖平面EBD.

Answer 1

解

(1)
根据条件可以算出AB=BD=√2CD=√2AD/2

∴△ABD为等腰直角三角形
BD⊥AB

又BD⊥PB

∴BD⊥平面PAB
∵PA包含于平面PAB
∴BD⊥PA

(2)
反证法，反设PA=PD

则P在AD中垂面上

故PB⊥AD
又PB⊥BD
∴PB⊥平面ABCD
∴PB⊥CD
又CD⊥BC
∴CD⊥平面PBC
∴CD⊥PC

矛盾。得证

(3)
E在P点左侧且PE=CB的位置

证明如下：

∵PE=CB
又∵l‖直线BC

∴PEBC是平行四边形
PC‖BE

又BE包含于平面EBD

∴PC‖平面EBD