Question

不定方程整数解

Answer 1

23^n - 26k - 1 = 0 (23^n - 1) / 26 = k 明显 n 非负
否则 0 < k < - 1。 (23 - 1) (23^(n-1) + 23^(n-2) + ... + 1) / 26 = k 11 ( (13+10)^(n-1) + (13+10)^(n-2) + ... + 1 ) / 13 = k 11 ( 13M + 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1 ) / 13 = k
其中 M 为正整数。 故 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 1 = 111...1 (n 个1) 能被 13 整除。 而 111111 能被 13 整除
但 1
11
111
1111
11111 不能被13 整除。 故0或全为1组成的数有且只有 0
111111
111111
111111
111111
111111
111111
...... 能被13 整除。 相应地 n = 0
6
12
18
.... 即方程的整数解为 : n = 6m (m为非负整数) k = (23^(6m) - 1) / 26 2013-04-06 17:38:08 补充： 明显 n 非负
否则 -1 < k < 0。