Question

判断函数单调性常用的几个结论及证明？

Answer 1

1.定义法
定义法是求具体函数单调性的一个基本方法，具体步骤可以分为5步：
①取值：在所给区间取任意的x1,x2；
②作差：作函数值之差，即f(x1)-f(x2)；
③变形：对②中的式子进行变形，常用方法有因式分解、通分、分子分母有理化、配方等方法；
④判号：判断f(x1)-f(x2)的正负；
⑤作结论：若x1＜x2，且f(x1)-f(x2)＜0，则为增函数；若x1＜x2，且f(x1)-f(x2)＞0，则为减函数。

2.函数性质法
函数性质法是利用常见的简单函数的单调性来判断一个相对复杂的函数单调性的方法，相比定义法过程更加简单。常用性质有：
①y=af(x)与y=f(x)的单调性：a＞0，两者相同；a＜0，两者相反；
②f(x)＞0，y=√f(x)与f(x)的单调性相同；
③f(x)≠0，y=1/[f(x)]与f(x)的单调性相反；
④增＋增=增，增-减=增，减＋减=减，减-增=减。
3.图像法
图像法是利用函数图像的升降性来判断函数单调性。图像法的特点是形象直观，但图像法一般只用于比较容易画出函数图像的函数或者已知函数图像的函数：图像上升为增函数，图像下降为减函数。图像法也是求函数单调区间的一种常用方法。
4.复合函数法
复合函数f[g(x)]是由内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)复合而成，其解析式一般比较复杂，直接求解单调性比较困难，此时可以由复合函数的内外层函数的单调性入手，分别求出内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)的单调性，再利用“同增异减”的性质判断出复合函数f[g(x)]的单调性。

二、抽象函数

5.凑差法，6.添项法
抽象函数因为没有给出解析式也没有给出图像，很多同学感觉无从下手，甚至直接放弃，其实掌握方法也并不难。
抽象函数单调性的求解主要是利用单调性的定义以及变形形式，关键是充分利用题目中给出的关系式，通过这个关系式构造出f(x1)-f(x2)的形式，构造的常用方法有凑差法和添项法，然后判断出f(x1)-f(x2)的正负即可。