Question

已知三角形ABC的三条边a、b、c满足a+b>=2c,求证：角c

Answer 1

根据大边对大角的定理来证明并转换已知条件
a+b+c=180
a+b>=2c
a+b=180-c
180-c>=2c
180>=3c
c<=60
或者
根据余弦定理得：
CosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
=(a+b)^2-2ab -c^2/(2ab)
=(a+b)^2 -c^2-2ab/(2ab)
=(a+b)^2 -c^2/(2ab)-1
因为a+b≥2c,所以c^2≤(a+b)^2/4.
(a+b)^2 -c^2/(2ab)≥(a+b)^2 -(a+b)^2/4/(2ab)
≥3(a+b)^2/4/(2ab)
又因(a+b)^2≥(2√(ab)) ^2=4ab,
所以3(a+b)^2/4/(2ab) ≥3/2.
从而CosC=(a+b)^2 -c^2/(2ab)-1≥3/2-1=1/2,
∴0°<c≤60°. div=""> </c≤60°.>