Question

一道数学计算题（尽量快，今晚之前）悬赏20，最快可追加

1×3×5+2×4×6+3×5×7+...+101×103×105=？
要有详细的计算过程，要讲解说明，谢谢，满意可追加70

Answer 1

利用几个常用的自然数等幂和公式，直接代入做。

∑{k=1-->n}k=n(n+1)/2
∑{k=1-->n}k^2=n(n+1)(2n+1)/6
∑{k=1-->n}k^3=n^2(n+1)^2/4

本题
原式=∑{k=1-->101}k(k+2)(k+4)
=∑{k=1-->101}(k^3+6k^2+8k)
=101^2*102^2/4+101*102*203+4*101*102
=28665315

也可以这样做：
k(k+2)(k+4)=[k(k+2)(k+4)(k+6)-(k-2)k(k+2)(k+4)]/8
所以
原式=[1*3*5*7-(-1)*1*3*5+2*4*6*8-0*2*4*6+3*5*7*9-1*3*5*7+...+101*103*105*107-99*101*103*105]/8
=(1*1*3*5+100*102*104*106+101*103*105*107)/8
=28665315

如果你知道招差法的话，对这种通项为多项式型的求和式也是很容易的。
想学招差法建议网上搜索。

Answer 2

令A=1*3*5+3*5*7+……+101*103*105
B=2*4*6+……+100*102*104
即分为奇偶两部分计算。

A
=1*3*5+3*5*7+……+101*103*105
=1/8(1*3*5*7-(-1)*1*3*5)+1/8(3*5*7*9-1*3*5*7)+……+1/8(101*103*105*107-99*101*103*105) (每项拆成两项)
=1/8(99*101*103*105-(-1)*1*3*5)
=1/8(99*101*103*105+1*3*5)

同理
B=1/8(100*102*104*106-0*2*4*6)=100*102*104*106/8

原式
=A+B
=(99*101*103*105+15+100*102*104*106)/8
(这个就稍微算一下了，比最开始简单多了~~)
=27573000