Question

函数奇偶性

函数Y=f（x），f（x）不恒为0,与y=f（-X）的图像关于原点对称，则y=f（x）的奇偶性是？
二次函数f（2+x）=f（2-x），且f（x）=0的两个实根的平方和为10，图像过点（0,3），则f（x）的解析式是？
解答步骤与答案，谢谢了

Answer 1

函数Y=f（x），f（x）不恒为0,与y=f（-X）的图像关于原点对称，则y=f（x）是奇函数

f（2+x）=f（2-x），且f（x）=0的两个实根的平方和为10，图像过点（0,3）
设二次函数为f(x)=ax²+bx+c
f（2+x）=f（2-x），
即a(x+2)²+b(x+2)+c=a(2-x)²+b(2-x)+c
4ax+bx=-4ax-bx
x(4a+b)=0,
当x≠0时有：
4a+b=0---------------(1)
ax²+bx+c=0的两个实根的平方和为10,图像过点（0,3）
c=3
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(b/a)²-6/a=10
(b²-6a)/a²=10----------(2)
联立（1），（2）解得：
a=1,b=-4

f（x）的解析式是f(x)=x²-4x+3

Answer 2

1.奇函数，根据函数奇偶性的定义就知道，不恒为0是排除恒为0的时候函数既是奇函数，又是偶函数的情况。
2.首先，根据f（2+x）=f（2-x）可得函数关于x=2对称（这是这类问题的基本知识点，该知道吧，判断的方法就是2+x+2-x=4=2*2,这个可以由对称的最初始定义去看），又根据函数两实根平方和为10，设函数的两点式f(x)=a(x-x1)(x-x2),那么更具条件有x1^2+x2^2=10,且将（0,3）点带入方程得3=ax1x2；又有x1+x2=4,联立三方程解得x1=1,x2=3或x1=3，x2=1。a=1。从而
f(x)=(x-1)(x-3)
或
f(x)=x^2-4x+3

Answer 3

第一道：y=f(x)为奇函数 解答：因为y=f(x)不恒为0 ，假设点（-x,y)在函数y=f(-x)的图像上，则点（-x,y)关于原点对称点为（y,-x),此点在函数y=f(x)上，所以-x=f(y),即x=-f(y)推出y=-f(x),f(-x)=-f(x),即为奇函数。
第二道：由f（2+x）=f（2-x）可以推出二次函数的对称轴为x=2,画个图，可知f(x)=0的两个根分别为1和3，设方程为a(x-2)^2+c,将1和0分别代入联立两个方程，即可解除f(x)的解析式为(x-2)^2-1

Answer 4

奇函数；f(x)=x2-4x+3

Answer 5

设f（x）=ax2+bx+c(a不等于0)，因为f（2+x）=f（2-x），则f（x）关于x=2对称，b/2a=2；设m.n为f（x）=0的两个实根，因为f（x）=0的两个实根的平方和为10，则m2+n2=(m+n)2-2mn=b2/a2-2c/a=10，又因为图像过点（0,3），所以f（x）=0+0+c=3.综上所述a=1,b=-4,c=3;所以f（x）=x2-4x+3