Question

若定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立，且当x〉0时，f(x)〉1.

（1）求证：f(x1)-1为奇函数
（2）求证：f(x)是R上的增函数
（3）若f(4)=5，解不等式f(3m的2次方-m-2)〈3

Answer 1

解：1 令X2=0；当X1＞0时，有F（X1）=F（X1）+F（0）-1；
由此可得，F（0）=1；
再令X2=-X1,则，F（0）=F（X1）+F（-X1）-1
化简得：F（X1）-1=-F（-X1）+1；
从而有，F（X1）-1为奇函数
得证；
2假设X2＞0，那么X1+X2＞X1；
F（X1+X2）-F(X1)=F(X2)-1;
又因为，X2＞0，所以F（X2）-1＞0;
从而，F（X1+X2）大于F（X1）。
所以，F（X）在R上单调递增。
3因为F（4）=F(2+2)=2F(2)-1=5;
所以F（2）=3；
根据函数的单调性，3M*M-M-2＜2
从而解得，M∈（-1， 4/3）；

以上是我的解答，由于高中毕业一年，对高中数学有些淡忘，所以结果不是很完善，可能有错误，不过还望采纳，谢谢！！！

Answer 2

(1)
令x1=x2=0
得f(0)=1

令x2=-x1

f(x1)-1
=f(x1+x2)-f(x2)
=f(0)-f(-x1)
=1-f(-x1)
=-(f(-x1)-1)
得证

(2)
即证f(x)-1为增函数
由(1)，只需证明f(x)在(0,+∞)上单调增即可

任取0<x1<x2

则x2-x1>0,f(x2-x1)>1
故
f(x2)
=f(x1+x2-x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-1
>f(x1)
得证

(3)
f(4)=2f(2)-1
f(2)=3
由f(x)的单调知

3m^2-m-2<2
(3m-4)(m+1)<0
-1<m<4/3