Question

已知f(x)为奇函数，当x∈【-1,0）时，f(x)=1/(4^x)-a/(2^x)(a∈R)

1 当x∈（0,1】时，求f(x)的代数式
2 求f(x)在（0,1】上的最大值（a<4）

3 若f(x)在（0,1】上为增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

1、
0<x<=1
-1<=-x<0
所以f(-x)=1/4^-x-a/2^-x=4^x-a*2^x
奇函数
f(x)=-f(-x)=-4^x+a*2^x

2、
令b=2^x
1<b<=2
y=f(x)=-b²+ab
=-(b-a/2)²+a²/4
对称轴b=a/2<2
所以
a<=2，a/2<1,则b=1最大，但b=2取不到
2<a<4,1<a/2<2,则b=a/2是最大

所以
a<=2,没有最大值
2<a<4,则最大值=a²/4

3、
b=2^x是增函数
所以y=-(b-a/2)²+a²/4和x单调性相同
所以对称轴在定义域1<b<=2右边
所以a/2>=2
a>=4

Answer 2

1.
f(x)=-(1/(4^(-x))-a/(2^(-x)))
=-(4^x-a*2^x),x∈(0,1]

2.
即求在[-1,0)上最小值的相反数

令t=1/2^x,t∈(1,2]

f(x)=g(t)=t^2-at

对称轴t=a/2<2

最小值为f(a/2)=-a^2/4

故所求最大值为a^2/4

3.
由奇函数的性质，在[-1,0)上也是增函数。

沿用(2)中所设

t=a/2≤1
a≤2