Question

如何求解二阶微分的通解？

Answer 1

有如下这三种：

第一种：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解。

第二种：通解是一个解集，包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。

第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。

二阶微分方程的相关介绍

对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

Answer 2

如何求解二阶微分的通解？

二阶微分的通解一般可以用以下步骤来求解：

1. 确定已知微分方程的形式，如 a(x)y″ b(x)y′ c(x)y=f(x)；

2. 求解微分方程的特征方程，即 a(x)r^2 b(x)r c(x)=0；

3. 根据特征方程的根，求出相应的特解；

4. 将特解和通解的形式统一，将通解写成 y=y_c y_p 的形式；

5. 将求解出来的特解代入到通解中，求出 y_c 和 y_p；

6. 将 y_c 和 y_p 带入到 y=y_c y_p 中，求出通解 y。
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