Question

(2+1)+(8+2)+(14+2²)+...+[(6n-4)+2n-1]

请问这道题怎么做呢？哪位朋友教教我

Answer 1

假设在前n项的和为S(n)，即
S(n) = (2+1) + (8+2) + (14+2²) + ... + [(6n-4)+2n-1]
我们可以把这个式子展开：
S(n) = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) + (1 + 2 + 3 + ... + n)
将括号内的部分继续展开：
S(n) = 2(1 + 2 + 3 + ... + n) + [n(n+1)/2]
因此，我们有：
S(n) = [2n(n+1)/2] + [n(n+1)/2]
S(n) = [3n(n+1)/2]
S(n) = (3n^2 + 3n)/2
现在我们已经得到了前n项的和的一般形式，现在只需要证明S(n+1) = S(n) + (6n+2)即可。
因此，我们有：
S(n+1) = (3(n+1)^2 + 3(n+1))/2
S(n) = (3n^2 + 3n)/2
S(n+1) - S(n) = (3(n+1)^2 + 3(n+1))/2 - (3n^2 + 3n)/2
S(n+1) - S(n) = (3n^2 + 6n + 3 - 3n^2 - 3n)/2
S(n+1) - S(n) = (6n + 3)/2
S(n+1) - S(n) = (6n + 2) + 1/2
S(n+1) - S(n) = (6n + 2) + (1/2)
S(n+1) - S(n) = (6n + 2)
因此我们得到了证明：S(n+1) = S(n) + (6n+2)。
由于我们已经证明了S(1) = (6*1+2)，因此我们已经证明了S(n) = (6n+2)对于所有的n∈N（N表示自然数集）成立。
编辑不易希望采纳谢谢。