Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1....

已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a>0,b∈R)、设方程f(x)=x有两个实数根x1,x2
1、 如果x1<2<x2<4,设函数f(x)的对称轴为x=x0、求证x0>-1
2、 如果0<x1<2、且f(x)=x的两个实数根相差2、求实数b的取值范围

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Answer 1

设g(x)=f(x)-x = ax^2 + (b-1) x + 1，

1、由根与系数的关系：x1+x2=(1-b)/a，x1*x2=1/a>0（a>0），所以，x1、x2同号，因为x2>2>0，所以x1>0，又2<x2<4，所以1/4<x1<1/2，9/4<x1+x2<9/2，

对称轴方程为x=x0=(x1+x2)/2∈(9/8, 9/4)，所以x0>9/8>-1。

 2、g(x)=0有一个根在区间(0, 2)内，于是，g(0)*g(2)<0，

即：1*(4a+2b-1)<0，

在平面直角坐标系AOB中做出直线4a+2b-1=0的图像，如图中红色直线所示，这个不等式的解的区域在红色直线的下方（不含边界）。

由根与系数的关系：

x1+x2=(1-b)/a，x1*x2=1/a，

因为|x1-x2|=2，所以4=|x1-x2|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=(1-b)^2/a^2-4/a，

化简，(2a+1)^2-(b-1)^2=1，

(a+1/2)^2/(1/2)^2-(b-1)^2=1，

表示的图像是一条双曲线，其渐进线为 b=-2a, b=2a+2，

所以(a, b)的轨迹是这条双曲线位于前面不等式解的区域中的部分（直线4a+2b-1=0下方部分），

前面从不等式解出的(a, b)的取值范围的边界恰好就是该双曲线的一条渐进线向右平移1/2个单位得到的，故双曲线的左支不会和直线4a+2b-1=0相交。

由图像可以判断b的取值范围形如b≤b0。直线和双曲线有1个交点，求出交点坐标即可。

双曲线方程与边界直线方程联立，

4a+2b-1 = 0, 4*a+4*a^2 = (b-1)^2，

解为a = 1/8, b = 1/4；

故b的取值范围是(-∞, 1/4)。