Question

是否存在实数a,使不等式(1/2)^(x^2-2ax)<2^(3x+a^2)对于x∈R成立，

如果存在求出a的范围并说明理由

Answer 1

(1/2)^(x^2-2ax)<2^(3x+a^2)
[2^(-1)]^(x^2-2ax)<2^(3x+a^2)
2^(-x^2+2ax)<2^(3x+a^2)
-x^2+2ax<3x+a^2
x^2+(3-2a)x+a^2>0
x^2+(3-2a)x+a^2是开口向上的抛物线
要x^2+(3-2a)x+a^2>0对于x∈R成立
要求，顶点的纵坐标大于0，
即[4a^2-(3-2a)^2]/4>0
4a^2-9+12a-4a^2>0
a>3/4
存在实数a,当a>3/4时，不等式(1/2)^(x^2-2ax)<2^(3x+a^2)对于x∈R成立

Answer 2

(1/2)^(x^2-2ax)=1/[2^(x^2-2ax)]=2^（2ax-x²）
所以题目转化成2^（2ax-x²）<2^(3x+a^2)
即2ax-x²＜3x+a²，x²+（3-2a）x+a²＞0
函数y=x²+（3-2a）x+a²图像是开口方向向上的抛物线，要使x²+（3-2a）x+a²＞0恒成立，只需要函数图像与x轴没有交点就可以了
判别式△=（3-2a）²-4a²＜0，即9-12a＜0
a＞3/4