已知等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.

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青柠姑娘17
2022-10-24 · TA获得超过1.2万个赞
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解题思路:(I)先根据2a1+3a2=1,a32=9a2a6求出等比数列的通项;进而求出数列{bn}的通项,最后 *** 分组求和即可得到数列{bn}的前n项和Sn;(Ⅱ)先求出得表达式,再利用裂项求和求出Tn;进而把kn•2n+1(n+1)≥(7−2n)Tn(n∈N*)恒成立转化为k≥2n−72n恒成立,最后求出不等式右边的最大值即可.

(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a32=9a2a6得a32=9a42
所以q2=[1/9].
由条件可知q>0,故q=[1/3].
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=[1/3].
故数列{an}的通项式为an=[1
3n
∴bn=3n+ln(
1/3)n=3n-nln3.
所以Sn=
3n+1−3
2]-
n(n+1)
2ln3.
(Ⅱ)∵Cn=log3 a1+log3a2+…+log3an,
=-(1+2+…+n)=-
n(n+1)
2
故[1
Cn=-
2
n(n+1)=-2(
1/n]-[1/n+1]),
Tn=[1
C1+
1
c2+…+
1
=-2[(1-
1/2])+([1/2]-[1/3])+…+([1/n]-[1/n+1])]=-[2n/n+1]
所以数列{[1
}的前n项和为-
2n/n+1].
k
n•2n+1
(n+1)≥(7−2n)Tn(n∈N*)化简得k≥[2n−7
2n恒成立
设dn=
2n−7
2n,则dn+1-dn=
2(n+1)−7
2n+1−
2n−7
2n=
9−2n
2n+1.
当n≥5,dn+1≤dn,{dn}为单调递减数列,1≤n<5,dn+1>dn,{dn}为单调递增数列
当n≥5,+1≤,{}为单调递减数列,当1≤n<5,+1>,{}为单调递增数列

1/16]=d4<d5=[3/32],所以,n=5时,dn取得最大值为[3/32]
所以,使k
n•2n+1
(n+1)≥(7−2n)Tn(n∈N*)恒成立的实数k≥[3/32].

点评:
本题考点: 数列与不等式的综合;等比数列的通项公式;数列的求和.

考点点评: 本题主要考察数列与不等式的综合以及数列求和的分组求和法,是对数列知识的综合考察,属于中档题目.
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