向量的定义是什么?
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共面向量的定义:能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。
共面向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教学范畴。主要用于证明两个向量共面,进而证明面面垂直等一系列复杂问题。
推论1
设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z)
使得OP=xOA+yOB+zOC 说明:若x+y+z=1 则PABC四点共面
(1)唯一性:
设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC
则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC
∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0
∵OA、OB、OC不共面
∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'
故实数x,y,z是唯一的。
(2)若x+y+z=1, 则PABC四点共面:
假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 ,且PABC不共面
那么z=1-x-y ,则OP=xOA+yOB+(1-x-y)OC
=xOA-xOC+yOB-yOC+OC
=OC+xCA+yCB (CP=xCA+yCB)
点P位于平面ABC内,与假设中的条件矛盾,故原命题成立。
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