Question

证明：若x≠0，则ex＞1+x．

Answer 1

【答案】：证1 令f(x)=e^x-x-1，
则 f'(x)-e^x-1
所以，当x＞0时，f'(x)＞0，严格单增；当x＜0时，f'(x)＜0，f(x)严格单减．
故 f(x)＞f(0)=0， (x≠0)
e^x＞1+x， (x≠0)
证2 设g(x)=e^x，则g"(x)=e^x＞0，所以g(x)严格下凸；另一方面，y=1+x是曲线y=e^x在点(0，1)处的切线．这样，除切点外，曲线y=e^x严格地在直线y=1+x的上方，即
e^x＞1+x， (x≠0)证1是常用的方法．y=1+x是y=e^x的切线．显然，曲线y=e^x在直线y=1+x的上方．