Question

矩阵实对称一定能相似对角化吗？

Answer 1

实对称矩阵一定能对角化

。不用厄米特矩阵，也不用二次型。若能证明下列命题，你的问题便也立即得到解决了。

设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕

然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化