Question

22的22次方除以5余数？

Answer 1

首先，我们可以对22取模，得到22除以5的余数为2。然后，我们来计算22的22次方的余数。
根据费马小定理，如果a是整数，p是质数，那么a的p次方 mod p等于a mod p。
因为5是质数，所以我们可以将22的22次方 mod 5转化为(22 mod 5)的22次方 mod 5，即2的22次方 mod 5。
为了避免计算22次方，我们可以先计算2的2次方、2的4次方、2的8次方、2的16次方，然后将结果相乘，即可得到2的22次方的值。
2的2次方 mod 5等于4。
2的4次方 mod 5等于1。
2的8次方 mod 5等于1。
2的16次方 mod 5等于1。
因此，2的22次方 mod 5等于4 * 1 * 1 * 1 mod 5，即4。
综上所述，22的22次方除以5的余数为4。

Answer 2

首先，我们可以使用模运算的性质来简化计算。对于任意正整数 a, b 和自然数 n，有如下公式：
(a * b) %!n(MISSING) = ((a %!n(MISSING)) * (b %!n(MISSING))) %!n(MISSING)
这个公式表示，如果我们要计算 a * b 对 n 取模的结果，可以先将 a 和 b 分别对 n 取模，然后将它们的乘积再对 n 取模，得到的结果和直接计算 a * b 再对 n 取模的结果相同。
回到题目中，22 的 22 次方可以表示为 22^22，我们希望求得 22^22 除以 5 的余数。可以使用上述公式进行计算，具体步骤如下：

首先，将 22 对 5 取模，得到 2。

然后，将 22^21 对 5 取模，得到一个数 x。

最后，将 2 * x 对 5 取模，得到的结果即为 22^22 除以 5 的余数。
这里的 22^21 对 5 取模可以通过递归计算来实现，具体过程如下：

首先，将 22 对 5 取模，得到 2。

然后，将 22^10 对 5 取模，得到一个数 y。接着，将 y 的平方对 5 取模，得到一个数 z。

然后，将 z 的平方对 5 取模，得到一个数 w。

接着，将 w 的平方对 5 取模，得到一个数 u。

然后，将 u 的平方对 5 取模，得到一个数 v。

接着，将 v 的平方对 5 取模，得到一个数 x。
最终，将 2 * x 对 5 取模，得到的结果为 4。因此，22 的 22 次方除以 5 的余数为 4。

Answer 3

在计算 $22^{22}$ 的过程中，我们可以使用取模运算来控制数值的大小，以避免溢出。具体操作为：每次平方后都取模，然后再进行乘法运算。同时，由于题目要求求余数，我们可以在每次运算时都对 5 取模，最终得到的结果就是 $22^{22}$ 除以 5 的余数。
下面是具体的计算过程：
首先，将 22 转化为二进制数为 10110，从低位到高位遍历，得到：
$22^{22} = (22^{16} \times 22^{4} \times 22^{2}) \bmod 5$
$22^{2} = 484 \equiv 4 \bmod 5$
$22^{4} = (22^{2})^{2} \equiv 16 \bmod 5$
$22^{8} = (22^{4})^{2} \equiv 1 \bmod 5$
$22^{16} = (22^{8})^{2} \equiv 1 \bmod 5$
将以上结果代入第一个式子中得：
$22^{22} \equiv (1 \times 16 \times 4) \bmod 5 \equiv 4 \bmod 5$
因此，$22^{22}$ 除以 5 的余数为 4。