Question

高一数学题=====急求详解！！！！！

在△ABC中，若c方=a方+b方，则△ABC是直角三角形。现在请你研究：c的n次方=a的n次方+b的n次方（n大于2），问△ABC为何种三角形？为什么？

Answer 1

n=2时为直角三角形，n>2时为锐角三角形，因为
a^n+b^n=c^n,c>a,c>b,所以C为最大角，而
(a^2)^(n/2)+(b^2)^(n/2)=(c^2)^(n/2)
如果a^2+b^2<=c^2,因为n/2>1,所以(a^2)^(n/2)+(b^2)^(n/2)<(c^2)^(n/2),
所以a^2+b^2>c^2,所以角C小于90度。

Answer 2

假设 c>a ，c>b，由大角对大边知， 角c为三角形中最大角。
对c^n=a^n+b^n（n>2);
由c^n=c^2*c^(n-2)=a^2*a^(n-2)+b^2*b^(n-2)<a^2*c^(n-2)+b^2*c^(n-2)=(a^2+b^2)*c^(n-2)
则有c^2*c^(n-2)<(a^2+b^2)*c^(n-2)
得c^2<a^2+b^2；
最大角的余弦cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)>0
所以，C<90° 为锐角三角形。