Question

初二奥数题！急！！

已知非零实数a,b,c满足a+b+c=0。

求 【（a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b】【c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)】的值。

Answer 1

因为a+b+c=0，所以c=-a-b,
所以(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b=(a-b)/(-a-b)+(b+a+b)/a
+(-a-b-a)/b=(b-a)/(b+a)+2b/a-2a/b,
通分，得(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b=(2b^3+3ab^2-3a^2b-2a^2)/[(a+b)ab]=(2b+a)(b+2a)(b-a)/[(a+b)ab].
而c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=(b+a)/(b-a)+a/(2b+a)-b/(2a+b)，
通分，得c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=9ab(a+b)/[(2b+a)(b+2a)(b-a)],
所以[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9.