Question

直线l的方程为2y=x=4z-2,求l绕y轴旋转一周所成曲面的方程.？

Answer 1

首先，将直线l的方程改写为参数方程形式：
x = 2t - 2, y = t, z = (t + 1)/2
接下来，我们将这个参数方程表示的直线绕y轴旋转，得到旋转曲面的参数方程。设旋转后的曲面为S，曲面上一点的坐标为(x,y,z)，其在旋转前的位置为(r cosθ, y, r sinθ)，其中θ为绕y轴旋转的角度，r为点到y轴的距离。
根据旋转对称性，曲面S的方程可表示为：
x = r cosθ, y = y, z = r sinθ
将x, y, z分别用参数表示，有：
r cosθ = 2t - 2
y = t
r sinθ = (t + 1)/2
将上述三式平方相加，得到：
r^2 = (2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4
将r表示成参数t的函数形式，有：
r = sqrt[(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4]
将r, θ表示成x, y, z的函数形式，有：
x = sqrt[(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4] * cosθ
y = t
z = sqrt[(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4] * sinθ
因此，绕y轴旋转后所得的曲面方程为：
[(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4] * cos^2θ + t^2 + [(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4] * sin^2θ = [(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4]
化简后得到：
(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4 = 4x^2 - 4z^2 + 4
最终，旋转曲面的方程为：
(2t - 2)^2 + (t + 1)^2/4 = 4x^2 - 4z^2 + 4