[初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题]八年级上册数学三角形
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做八年级数学 单元测试 题前要先审题，保持平常心，考出最高分;以下是我为大家整理的初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题，希望你们喜欢。
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元试题
一、选择题
1.正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=( )
A.5 B. C. D.6
3.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD=1，则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
7.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
8.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
10.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
11.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=( )
A. B.2 C. D.2
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
14.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm.
17.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= .
18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= .
19.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°，则AE= .
20.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= .
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题参考答案
一、选择题(共15小题)
1.正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】依题意画出图形，过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA1D;由AC1=2，AD=1，得点D为AC1中点，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D= ;同理求出S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得结果.
【解答】解：依题意画出图形，如下图所示：
过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形.
又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，
∴点D为AC1的中点，
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;
同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1= ，
∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .
故选B.
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大.本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=( )
A.5 B. C. D.6
【考点】等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】连结CD，直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB，利用半径相等得到CD=CB=DB，可判断△CDB为等边三角形，则∠B=60°，所以∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC，再计算AC.
【解答】解：连结CD，如图，
∵∠C=90°，D为AB的中点，
∴CD=DA=DB，
而CD=CB，
∴CD=CB=DB，
∴△CDB为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC= AB= ×10=5，
∴AC= BC=5 .
故选C.
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角形;等边三角形的三个内角都等于60°.也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30度的直角三角形三边的关系.
3.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案.
【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，
∴∠COA=90°﹣20°=70°，
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故选：B.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键.
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果.
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=9，
故选C.
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.
5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD=1，则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质;勾股定理.
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，
∴CD=2BD=2，
由勾股定理得：BC= = ，
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC= ，
∴AC=2BC=2 ，
故选A.
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE= CE=1.
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，
∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
∴AE= CE=1.
故选B.
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键.
7.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【专题】应用题.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC= AB=AM=1.2km.
故选D.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.
8.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【考点】直角三角形的性质.
【专题】常规题型.
【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.
【解答】解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°.
故选：C.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.
9.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB.
【解答】解：在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，
则AD=CD=1，
在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，
则BD= ，
故AB=AD+BD= +1.
故选D.
【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质.
10.(2014•海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°.
故选：D.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.
11.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=( )
A. B.2 C. D.2
【考点】等边三角形的判定与性质;勾股定理的应用;正方形的性质.
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC= = = ，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC= .
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键.
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
【考点】含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边.
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6 ，
故选：D.
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边.
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
【考点】含30度角的直角三角形.
【专题】常规题型.
【分析】根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值.
【解答】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED，
∵AE=6cm，
∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴ED=CE，
∴CE=3cm;
故选：C.
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE.
14.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质.
【专题】计算题.
【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长.
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故选：C.
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可.
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∴AD=BD，AD=2CD，
∴BD=2CD，
根据已知不能推出CD=DE，
即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确;
故选：D.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 18 cm.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】应用题.
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.
【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18
【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析.
17.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= 6 .
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长.
【解答】解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC= = =6 ，
故答案为：6 .°
【点评】此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= 2 .
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质.
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD=30°，
∴BD=AD=2CD=2，
故答案为2.
【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键.
19.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°，则AE= 8 .
【考点】含30度角的直角三角形;正方形的性质.
【分析】先由正方形的性质可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°.然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8.
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，
∵∠CAE=15°，
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.
∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD=8.
故答案为8.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.也考查了正方形的性质，平行线的性质.求出∠E=30°是解题的关键.
20.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 .
【考点】含30度角的直角三角形;矩形的性质.
【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长.
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA= AC=5，
故答案是：5.
【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键.
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元试题
一、选择题
1.正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=( )
A.5 B. C. D.6
3.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD=1，则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
7.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
8.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
10.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
11.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=( )
A. B.2 C. D.2
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
14.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm.
17.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= .
18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= .
19.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°，则AE= .
20.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= .
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题参考答案
一、选择题(共15小题)
1.正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】依题意画出图形，过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA1D;由AC1=2，AD=1，得点D为AC1中点，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D= ;同理求出S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得结果.
【解答】解：依题意画出图形，如下图所示：
过点A1作A1D∥BC，交AC于点D，易知△AA1D是边长为1的等边三角形.
又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1，
∴点D为AC1的中点，
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;
同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1= ，
∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .
故选B.
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大.本题入口较宽，解题方法多种多样，同学们可以尝试不同的解题方法.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=( )
A.5 B. C. D.6
【考点】等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】连结CD，直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB，利用半径相等得到CD=CB=DB，可判断△CDB为等边三角形，则∠B=60°，所以∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC，再计算AC.
【解答】解：连结CD，如图，
∵∠C=90°，D为AB的中点，
∴CD=DA=DB，
而CD=CB，
∴CD=CB=DB，
∴△CDB为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴BC= AB= ×10=5，
∴AC= BC=5 .
故选C.
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三边都相等的三角形为等边三角形;等边三角形的三个内角都等于60°.也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30度的直角三角形三边的关系.
3.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案.
【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，
∴∠COA=90°﹣20°=70°，
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故选：B.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度数是解题关键.
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果.
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6，
∴BC=9，
故选C.
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键.
5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD=1，则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质;勾股定理.
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出∠ACD=∠A=30°，求出∠DCB，即可求出BD、BC，根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴∠ACB=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
在Rt△DBC中，∠B=90°，∠DCB=30°，BD=1，
∴CD=2BD=2，
由勾股定理得：BC= = ，
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC= ，
∴AC=2BC=2 ，
故选A.
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
6.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE= CE=1.
【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，
∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
∴AE= CE=1.
故选B.
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键.
7.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【专题】应用题.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=AM=1.2km.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC= AB=AM=1.2km.
故选D.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.
8.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【考点】直角三角形的性质.
【专题】常规题型.
【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.
【解答】解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，
所以，∠1+∠2=90°.
故选：C.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.
9.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB.
【解答】解：在Rt△ACD中，∠A=45°，CD=1，
则AD=CD=1，
在Rt△CDB中，∠B=30°，CD=1，
则BD= ，
故AB=AD+BD= +1.
故选D.
【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质.
10.(2014•海南)在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于60°，
∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°.
故选：D.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键.
11.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90°时，如图1，测得AC=2，当∠B=60°时，如图2，AC=( )
A. B.2 C. D.2
【考点】等边三角形的判定与性质;勾股定理的应用;正方形的性质.
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
【解答】解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC= = = ，
如图2，∠B=60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC= .
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键.
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
【考点】含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边.
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6 ，
故选：D.
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边.
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
【考点】含30度角的直角三角形.
【专题】常规题型.
【分析】根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值.
【解答】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，
∴AE=2ED，
∵AE=6cm，
∴ED=3cm，
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴ED=CE，
∴CE=3cm;
故选：C.
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE.
14.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质.
【专题】计算题.
【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长.
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°= = ，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故选：C.
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可.
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∴AD=BD，AD=2CD，
∴BD=2CD，
根据已知不能推出CD=DE，
即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确;
故选：D.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 18 cm.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】应用题.
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.
【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm，
故答案为：18
【点评】此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析.
17.在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= 6 .
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长.
【解答】解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6，
∴△ABC是直角三角形，
∴BC= = =6 ，
故答案为：6 .°
【点评】此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= 2 .
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质.
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
AD平分∠CAB，
∴∠BAD=30°，
∴BD=AD=2CD=2，
故答案为2.
【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键.
19.如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°，则AE= 8 .
【考点】含30度角的直角三角形;正方形的性质.
【分析】先由正方形的性质可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°.然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8.
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，
∵∠CAE=15°，
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.
∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD=8.
故答案为8.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.也考查了正方形的性质，平行线的性质.求出∠E=30°是解题的关键.
20.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 .
【考点】含30度角的直角三角形;矩形的性质.
【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长.
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA= AC=5，
故答案是：5.
【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键.
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