[初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题]八年级上册数学三角形
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做八年级数学 单元测试 题前要先审题,保持平常心,考出最高分;以下是我为大家整理的初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题,希望你们喜欢。
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元试题
一、选择题
1.正三角形△ABC的边长为3,依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC=( )
A.5 B. C. D.6
3.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD.若BD=1,则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
7.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
8.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
10.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
11.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=( )
A. B.2 C. D.2
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
14.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是 cm.
17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,则BC= .
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD= .
19.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= .
20.在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB= .
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题参考答案
一、选择题(共15小题)
1.正三角形△ABC的边长为3,依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】依题意画出图形,过点A1作A1D∥BC,交AC于点D,构造出边长为1的小正三角形△AA1D;由AC1=2,AD=1,得点D为AC1中点,因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D= ;同理求出S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得结果.
【解答】解:依题意画出图形,如下图所示:
过点A1作A1D∥BC,交AC于点D,易知△AA1D是边长为1的等边三角形.
又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2,AD=1,
∴点D为AC1的中点,
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;
同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1= ,
∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .
故选B.
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质,难度不大.本题入口较宽,解题方法多种多样,同学们可以尝试不同的解题方法.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC=( )
A.5 B. C. D.6
【考点】等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】连结CD,直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB,利用半径相等得到CD=CB=DB,可判断△CDB为等边三角形,则∠B=60°,所以∠A=30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC,再计算AC.
【解答】解:连结CD,如图,
∵∠C=90°,D为AB的中点,
∴CD=DA=DB,
而CD=CB,
∴CD=CB=DB,
∴△CDB为等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴BC= AB= ×10=5,
∴AC= BC=5 .
故选C.
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质:三边都相等的三角形为等边三角形;等边三角形的三个内角都等于60°.也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30度的直角三角形三边的关系.
3.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案.
【解答】解:∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,
∴∠COA=90°﹣20°=70°,
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故选:B.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质,得出∠COA的度数是解题关键.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD,可得∠DAE=30°,易得∠ADC=60°,∠CAD=30°,则AD为∠BAC的角平分线,由角平分线的性质得DE=CD=3,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE,得结果.
【解答】解:∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠DAE=∠B=30°,
∴∠ADC=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AD为∠BAC的角平分线,
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=CD=3,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=6,
∴BC=9,
故选C.
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键.
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD.若BD=1,则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质;勾股定理.
【分析】求出∠ACB,根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD,推出∠ACD=∠A=30°,求出∠DCB,即可求出BD、BC,根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,
∴∠ACB=60°,
∵DE垂直平分斜边AC,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠DCB=60°﹣30°=30°,
在Rt△DBC中,∠B=90°,∠DCB=30°,BD=1,
∴CD=2BD=2,
由勾股定理得:BC= = ,
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC= ,
∴AC=2BC=2 ,
故选A.
【点评】本题考查了三角形内角和定理,等腰三角形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质的应用,解此题的关键是求出BC的长,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2,故可得出∠B=∠DCE=30°,再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°,然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE= CE=1.
【解答】解:∵在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,
∴BE=CE=2,
∴∠B=∠DCE=30°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,
∴AE= CE=1.
故选B.
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,角平分线定义,三角形内角和定理,求出∠A=90°是解答此题的关键.
7.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【专题】应用题.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得MC=AM=1.2km.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB的中点,
∴MC= AB=AM=1.2km.
故选D.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.理解题意,将实际问题转化为数学问题是解题的关键.
8.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【考点】直角三角形的性质.
【专题】常规题型.
【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.
【解答】解:由题意得,剩下的三角形是直角三角形,
所以,∠1+∠2=90°.
故选:C.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】在Rt△ACD中求出AD,在Rt△CDB中求出BD,继而可得出AB.
【解答】解:在Rt△ACD中,∠A=45°,CD=1,
则AD=CD=1,
在Rt△CDB中,∠B=30°,CD=1,
则BD= ,
故AB=AD+BD= +1.
故选D.
【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质,要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质.
10.(2014•海南)在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
【解答】解:∵直角三角形中,一个锐角等于60°,
∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°.
故选:D.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.
11.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=( )
A. B.2 C. D.2
【考点】等边三角形的判定与性质;勾股定理的应用;正方形的性质.
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长,图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
【解答】解:如图1,
∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
连接AC,则AB2+BC2=AC2,
∴AB=BC= = = ,
如图2,∠B=60°,连接AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴AC=AB=BC= .
【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质,利用勾股定理得出正方形的边长是关键.
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
【考点】含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图,可得直角三角形,根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半,可求出有45°角的三角板的直角边,再由等腰直角三角形求出最大边.
【解答】解:过点C作CD⊥AD,∴CD=3,
在直角三角形ADC中,
∵∠CAD=30°,
∴AC=2CD=2×3=6,
又∵三角板是有45°角的三角板,
∴AB=AC=6,
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72,
∴BC=6 ,
故选:D.
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题,关键是先求得直角边,再由勾股定理求出最大边.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
【考点】含30度角的直角三角形.
【专题】常规题型.
【分析】根据在直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED,求出ED,再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE,即可得出CE的值.
【解答】解:∵ED⊥AB,∠A=30°,
∴AE=2ED,
∵AE=6cm,
∴ED=3cm,
∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,
∴ED=CE,
∴CE=3cm;
故选:C.
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形,用到的知识点是在直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质,关键是求出ED=CE.
14.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质.
【专题】计算题.
【分析】过P作PD⊥OB,交OB于点D,在直角三角形POD中,利用锐角三角函数定义求出OD的长,再由PM=PN,利用三线合一得到D为MN中点,根据MN求出MD的长,由OD﹣MD即可求出OM的长.
【解答】解:过P作PD⊥OB,交OB于点D,
在Rt△OPD中,cos60°= = ,OP=12,
∴OD=6,
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND= MN=1,
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故选:C.
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质,等腰三角形的性质,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB,求出∠CAD=∠BAD=∠B,推出AD=BD,AD=2CD即可.
【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD=30°,
∴∠CAD=∠BAD=∠B,
∴AD=BD,AD=2CD,
∴BD=2CD,
根据已知不能推出CD=DE,
即只有D错误,选项A、B、C的答案都正确;
故选:D.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形的判定,含30度角的直角三角形的性质的应用,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是 18 cm.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】应用题.
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.
【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=OB=18cm,
故答案为:18
【点评】此题考查等边三角形问题,关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析.
17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,则BC= 6 .
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】由∠B=30°,AB=12,AC=6,利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形,利用勾股定理求出BC的长.
【解答】解:∵∠B=30°,AB=12,AC=6,
∴△ABC是直角三角形,
∴BC= = =6 ,
故答案为:6 .°
【点评】此题考查了含30°直角三角形的性质,以及勾股定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD= 2 .
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质.
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数,根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD.
【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
AD平分∠CAB,
∴∠BAD=30°,
∴BD=AD=2CD=2,
故答案为2.
【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用,求出AD的长是解此题的关键.
19.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= 8 .
【考点】含30度角的直角三角形;正方形的性质.
【分析】先由正方形的性质可得∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,由∠CAE=15°,根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°.然后在Rt△ADE中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8.
【解答】解:∵正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,
∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,
∵∠CAE=15°,
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.
∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,
∴AE=2AD=8.
故答案为8.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.也考查了正方形的性质,平行线的性质.求出∠E=30°是解题的关键.
20.在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB= 5 .
【考点】含30度角的直角三角形;矩形的性质.
【分析】根据矩形的性质,可以得到△AOB是等边三角形,则可以求得OA的长,进而求得AB的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA= AC=5,
故答案是:5.
【点评】本题考查了矩形的性质,正确理解△AOB是等边三角形是关键.
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元试题
一、选择题
1.正三角形△ABC的边长为3,依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC=( )
A.5 B. C. D.6
3.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD.若BD=1,则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
7.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
8.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
10.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
11.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=( )
A. B.2 C. D.2
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
14.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是 cm.
17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,则BC= .
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD= .
19.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= .
20.在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB= .
初中八年级上册数学第2章特殊三角形单元测试题参考答案
一、选择题(共15小题)
1.正三角形△ABC的边长为3,依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1的面积是( )
A. B. C. D.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】依题意画出图形,过点A1作A1D∥BC,交AC于点D,构造出边长为1的小正三角形△AA1D;由AC1=2,AD=1,得点D为AC1中点,因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D= ;同理求出S△CC1B1=S△BB1A1= ;最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得结果.
【解答】解:依题意画出图形,如下图所示:
过点A1作A1D∥BC,交AC于点D,易知△AA1D是边长为1的等边三角形.
又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2,AD=1,
∴点D为AC1的中点,
∴S△AA1C1=2S△AA1D=2× ×12= ;
同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1= ,
∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1= ×32﹣3× = .
故选B.
【点评】本题考查等边三角形的判定与性质,难度不大.本题入口较宽,解题方法多种多样,同学们可以尝试不同的解题方法.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心,CB为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC=( )
A.5 B. C. D.6
【考点】等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】连结CD,直角三角形斜边上的中线性质得到CD=DA=DB,利用半径相等得到CD=CB=DB,可判断△CDB为等边三角形,则∠B=60°,所以∠A=30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系先计算出BC,再计算AC.
【解答】解:连结CD,如图,
∵∠C=90°,D为AB的中点,
∴CD=DA=DB,
而CD=CB,
∴CD=CB=DB,
∴△CDB为等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴BC= AB= ×10=5,
∴AC= BC=5 .
故选C.
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质:三边都相等的三角形为等边三角形;等边三角形的三个内角都等于60°.也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30度的直角三角形三边的关系.
3.将一副直角三角尺如图放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为( )
A.140° B.160° C.170° D.150°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系,进而得出∠COA的度数,即可得出答案.
【解答】解:∵将一副直角三角尺如图放置,∠AOD=20°,
∴∠COA=90°﹣20°=70°,
∴∠BOC=90°+70°=160°.
故选:B.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质,得出∠COA的度数是解题关键.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( )
A.6 B.6 C.9 D.3
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD,可得∠DAE=30°,易得∠ADC=60°,∠CAD=30°,则AD为∠BAC的角平分线,由角平分线的性质得DE=CD=3,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE,得结果.
【解答】解:∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴∠DAE=∠B=30°,
∴∠ADC=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AD为∠BAC的角平分线,
∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=CD=3,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=6,
∴BC=9,
故选C.
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键.
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD.若BD=1,则AC的长是( )
A.2 B.2 C.4 D.4
【考点】含30度角的直角三角形;线段垂直平分线的性质;勾股定理.
【分析】求出∠ACB,根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD,推出∠ACD=∠A=30°,求出∠DCB,即可求出BD、BC,根据含30°角的直角三角形性质求出AC即可.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,
∴∠ACB=60°,
∵DE垂直平分斜边AC,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠DCB=60°﹣30°=30°,
在Rt△DBC中,∠B=90°,∠DCB=30°,BD=1,
∴CD=2BD=2,
由勾股定理得:BC= = ,
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,BC= ,
∴AC=2BC=2 ,
故选A.
【点评】本题考查了三角形内角和定理,等腰三角形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质的应用,解此题的关键是求出BC的长,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为( )
A. B.1 C. D.2
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2,故可得出∠B=∠DCE=30°,再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°,然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE= CE=1.
【解答】解:∵在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,
∴BE=CE=2,
∴∠B=∠DCE=30°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.
在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,
∴AE= CE=1.
故选B.
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,角平分线定义,三角形内角和定理,求出∠A=90°是解答此题的关键.
7.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为( )
A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km
【考点】直角三角形斜边上的中线.
【专题】应用题.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得MC=AM=1.2km.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB的中点,
∴MC= AB=AM=1.2km.
故选D.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.理解题意,将实际问题转化为数学问题是解题的关键.
8.如图,一个矩形纸片,剪去部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【考点】直角三角形的性质.
【专题】常规题型.
【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.
【解答】解:由题意得,剩下的三角形是直角三角形,
所以,∠1+∠2=90°.
故选:C.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )
A.2 B. C. D.
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.
【分析】在Rt△ACD中求出AD,在Rt△CDB中求出BD,继而可得出AB.
【解答】解:在Rt△ACD中,∠A=45°,CD=1,
则AD=CD=1,
在Rt△CDB中,∠B=30°,CD=1,
则BD= ,
故AB=AD+BD= +1.
故选D.
【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质,要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质.
10.(2014•海南)在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
【考点】直角三角形的性质.
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
【解答】解:∵直角三角形中,一个锐角等于60°,
∴另一个锐角的度数=90°﹣60°=30°.
故选:D.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质是解题的关键.
11.将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图1,测得AC=2,当∠B=60°时,如图2,AC=( )
A. B.2 C. D.2
【考点】等边三角形的判定与性质;勾股定理的应用;正方形的性质.
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长,图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得.
【解答】解:如图1,
∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
连接AC,则AB2+BC2=AC2,
∴AB=BC= = = ,
如图2,∠B=60°,连接AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴AC=AB=BC= .
【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质,利用勾股定理得出正方形的边长是关键.
12.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D. cm
【考点】含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图,可得直角三角形,根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半,可求出有45°角的三角板的直角边,再由等腰直角三角形求出最大边.
【解答】解:过点C作CD⊥AD,∴CD=3,
在直角三角形ADC中,
∵∠CAD=30°,
∴AC=2CD=2×3=6,
又∵三角板是有45°角的三角板,
∴AB=AC=6,
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72,
∴BC=6 ,
故选:D.
【点评】此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题,关键是先求得直角边,再由勾股定理求出最大边.
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于D.如果∠A=30°,AE=6cm,那么CE等于( )
A. cm B.2cm C.3cm D.4cm
【考点】含30度角的直角三角形.
【专题】常规题型.
【分析】根据在直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED,求出ED,再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE,即可得出CE的值.
【解答】解:∵ED⊥AB,∠A=30°,
∴AE=2ED,
∵AE=6cm,
∴ED=3cm,
∵∠ACB=90°,BE平分∠ABC,
∴ED=CE,
∴CE=3cm;
故选:C.
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形,用到的知识点是在直角三角形中,30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质,关键是求出ED=CE.
14.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质.
【专题】计算题.
【分析】过P作PD⊥OB,交OB于点D,在直角三角形POD中,利用锐角三角函数定义求出OD的长,再由PM=PN,利用三线合一得到D为MN中点,根据MN求出MD的长,由OD﹣MD即可求出OM的长.
【解答】解:过P作PD⊥OB,交OB于点D,
在Rt△OPD中,cos60°= = ,OP=12,
∴OD=6,
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND= MN=1,
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5.
故选:C.
【点评】此题考查了含30度直角三角形的性质,等腰三角形的性质,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )
A.∠CAD=30° B.AD=BD C.BD=2CD D.CD=ED
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质;等腰三角形的判定与性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB,求出∠CAD=∠BAD=∠B,推出AD=BD,AD=2CD即可.
【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠BAD=30°,
∴∠CAD=∠BAD=∠B,
∴AD=BD,AD=2CD,
∴BD=2CD,
根据已知不能推出CD=DE,
即只有D错误,选项A、B、C的答案都正确;
故选:D.
【点评】本题考查了三角形的内角和定理,等腰三角形的判定,含30度角的直角三角形的性质的应用,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
二、填空题
16.由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是 18 cm.
【考点】等边三角形的判定与性质.
【专题】应用题.
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可.
【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=OB=18cm,
故答案为:18
【点评】此题考查等边三角形问题,关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析.
17.在△ABC中,∠B=30°,AB=12,AC=6,则BC= 6 .
【考点】含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】由∠B=30°,AB=12,AC=6,利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形,利用勾股定理求出BC的长.
【解答】解:∵∠B=30°,AB=12,AC=6,
∴△ABC是直角三角形,
∴BC= = =6 ,
故答案为:6 .°
【点评】此题考查了含30°直角三角形的性质,以及勾股定理,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
18.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1,则BD= 2 .
【考点】含30度角的直角三角形;角平分线的性质.
【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数,根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD.
【解答】解:∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°,
AD平分∠CAB,
∴∠BAD=30°,
∴BD=AD=2CD=2,
故答案为2.
【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用,求出AD的长是解此题的关键.
19.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE= 8 .
【考点】含30度角的直角三角形;正方形的性质.
【分析】先由正方形的性质可得∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,由∠CAE=15°,根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°.然后在Rt△ADE中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8.
【解答】解:∵正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,
∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,
∵∠CAE=15°,
∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°.
∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,
∴AE=2AD=8.
故答案为8.
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.也考查了正方形的性质,平行线的性质.求出∠E=30°是解题的关键.
20.在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB= 5 .
【考点】含30度角的直角三角形;矩形的性质.
【分析】根据矩形的性质,可以得到△AOB是等边三角形,则可以求得OA的长,进而求得AB的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形.
∴AB=OA= AC=5,
故答案是:5.
【点评】本题考查了矩形的性质,正确理解△AOB是等边三角形是关键.
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