Question

特征值和特征向量的意义

Answer 1

2. 特征值和特征向量的意义

基于上面的解释后，我们再来看特征值和特征向量的定义:

“ 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
”

那特征值和特征向量具体是什么含义呢？

我们假设矩阵A的某个特征值为 m1, 对应的特征向量是 x1。根据定义和上面对矩阵的理解可以知道，x1是以A为坐标系的坐标向量，将其变换到以I为坐标系后得到的坐标向量 与 它原来的坐标向量 永远存在一个 m1 倍的伸缩关系。

为了方便理解举一个简单的例子，假如矩阵A如下，可以看到它的特征值有2个，分别是1,100，分别对应2个特殊的特征向量，即 [1,0],[0,1]。

所以矩阵A左乘任意的一个向量x，其实都可以理解成是把向量x沿着这2个特征向量的方向进行伸缩，伸缩比例就是对应的特征值。可以看到这2个特征值差别是很大的，最小的只有1，最大的特征值为100。

看下图的例子，矩阵A和向量 [1,1]相乘得到 [1,100]，这表示原来以A为坐标系的坐标[1,1]，经过转换到以I为坐标系后 坐标变成了 [1,100]。我们直观地理解就是矩阵A把向量[1,1]更多地往y轴方向拉伸。

假如A是多维(n)矩阵，且有n个不同的特征值，那么就可以理解成这个矩阵A和一个向量x相乘其实就是把向量x往n个特征向量的方向进行拉伸，拉伸比例是对应的特征值。那这样有什么作用呢？