Question

用微积分求圆的面积时，有个问题没搞懂，帮忙解释下

若圆的半径为1，则其面积就应为π，将圆画在平面直角坐标系中，第一象限部分为1/4圆，则其面积就应为1/4π，小于1。但是若要用积分求这个1/4圆的面积，就应该将第一象限所有的纵坐标加起来，而第一象限纵坐标最大为1，最小为0，加起来后肯定就大于1了，这是怎么回事啊？

Answer 1

不是简单的纵坐标相加。还有积分公式，z(x,y)=x^2+y^2,所以还要考虑积分，你说的仅仅是y的定义域，还有x的定义域。

Answer 2

我觉的你应该再理解一下微积分的定义.Y的定义域是[0,1],而X的定义域是[0,√((1-y^2)/2)].要用这两个极限相乘的,然后再求积分.微积分的核心思想就是分割后求解,求的是面积就是划分为了无数个小长方形,再吧这些个小面积相加.并不是仅仅是坐标相加

Answer 3

不要忘了还有lim呢
引入微分的时候用了长方形，比如y是长x是宽
然后把宽变小，长方形的面积也就越变越小，最后再加一起
而不是说单纯的把y的值加一起

Answer 4

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在直角坐标系中，以原点为圆心，作一个边长为1的圆。
S=2∫上限1下限（-1）√（1-x2）dx
设x=sina，则 √（1-x2）=cosa
因为-1≤x≤1，0≤√（1-x2）≤1
所以a的取值范围为[-pi/2，pi/2]
所以S=2∫上限（pi/2）下限（-pi/2）cosadsina
=2∫上限（pi/2）下限（-pi/2）cos^2(a)da
∫cos^2(a)da,令f=cosa，dg=cosada=dsina，则df=-sinada，g=sina。
∫cos^2(a)da=cosasina+∫sin^2(a)da
=cosasina+∫1-cos^2(a)da
=cosasina+a-∫cos^2(a)da
所以∫cos^2(a)da=1/2（cosasina+a）=1/4sin（2a）+a/2。
S={2[1/4sin（2a）+a/2]｝｜上限（pi/2）下限（-pi/2）
=pi

Answer 5

S=X*Y