Question

一个袋中有四个白，两个红球，现在依次不放回抽取，若恰好第四次将所有白球取出，请问一共有几种情况？

Answer 1

四个白球，两个红球，一共六个球，恰好第四次将所有白球取出，就得看一次去几个球
第一种情况:每次取一个球，每次取的都是白球，第四次就将所有白球取出。这种概率很小。
第二种情况就是第一次取一个球，第二次取两个球，第三次取一个球，第四次取两个球。
除了白，白白，白，红红情况外都可以实现第四次将所有白球取出。
第三种情况:第一次取两个球，第二次取一个球，第三次取两个球，第四次取一个球。
红白，白，白白，红
白白，红，白白，红
白白，白，红白，红
除了以上三种情况外都可以实现第四次将所有白球取出。

Answer 2

根据题意，需要在前三次抽取中把2个红球抽取出来，同时保证第四次抽到的是白球。假设前三次抽取到的红球分别为 aa 和 bb。则第四次需要抽取两个白球，且其中一个白球必须是之前没有被抽到过的，也就是在袋子中剩下的两个白球，另一个白球可以是之前已经抽过但被放回去的那一个。

• 情况一：第四次在第一次、第二次或第三次抽到了另一个白球

如果第四次抽取到的是第一次、第二次或第三次没法确定的白球，则前三次抽取的序列必须是 r a r brarb（表示先抽到红球 aa 和 bb，后抽到两个未知的白球），然后第四次抽取时有 \frac{1}{2}21 或 \frac{1}{3}31 的概率抽到正确的那个白球，因此这种情况的总数为：2 \times 2 \times 2 = 82×2×2=8

• 情况二：第四次在第四次抽到了另一个白球

如果第四次抽取到的是之前已经被抽到过但是被放回去的那个白球，则前三次抽取的序列必须是 r a r brarb 或者 r b r arbra（表示先抽到红球 aa 和 bb，后抽到已知的白球和未知的白球），因此这种情况的总数为：2 \times 2 = 42×2=4

由于以上两种情况互不重叠，所以符合条件的总数为 $8 +