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请帮忙求极限
x->0
分子
1+xe^x= 1+x +o(x)
ln(1+xe^x)= x +o(x)
分母
√(9-x)= 3.√(1-x/9) = 3[ 1- (1/18)x +o(x) ] = 3 -(1/6)x+o(x)
√(9-x)-3 =-(1/6)x+o(x)
//
lim(x->0) ln(1+xe^x)/[√(9-x)-3]
=lim(x->0) x/[-(1/6)x]
=-6
(4)
x->0
分子
xsin2x =2x^2 +o(x^2)
分母
√(1-3x^2) = 1- (3/2)x^2 +o(x^2)
√(1-3x^2) -1 = -(3/2)x^2 +o(x^2)
//
lim(x->0) xsin2x/[√(1-3x^2) -1]
=lim(x->0) 2x^2/[-(3/2)x^2]
=-4/3
当你把 x = 0 直接代入分子、分母的时候,你会发现这是一个 0/0 型的极限。可以使用罗必塔法则:
=lim [ln(1+x*e^x)]'/[√(9-x) - 3]'
=lim [1/(1+x*e^x) * (e^x + x * e^x)]/[1/2 * (-1) /√(9-x)]
=lim [1/(1+0) * (1+0*1)]/[1/2 * (-1)/3]
=lim 1/(-1/6)
= -6
同样的情况,这也是一个 0/0 型的极限,直接使用罗必塔法则:
=lim [x * sin(2x)]'/[√(1-3x²) - 1]'
=lim [sin(2x) + x * cos(2x) * 2]/[1/2 * (-6x)/√(1-3x²)]
=lim [sin(2x) + 2x * cos(2x)]/[(-3x)/√(1-3x²)]
=lim [sin(2x) + 2x * cos(2x)] * √(1-3x²)/(-3x)
到了这一步,还是一个 0/0 型的极限。继续使用罗必塔法则:
=lim {[2cos(2x)+2cos(2x) - 4x * sin(2x)] * √(1-3x²) + [sin(2x) + 2x * cos(2x)] * [(1/2) * 1/√(1-3x²) * (-6x)]}/(-3)
=lim {[4cos(2 * 0) - 4 * 0 * sin(2 * 0)] * √(1-3 * 0²) + [sin(2 * 0) + 2 * 0 * cos(2 * 0)] * [(-3 * 0)/√(1-3 * 0²)]}/(-3)
=lim 4/(-3)
= -4/3