Question

设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上,只有f(1)=f(3)=0。

(1)证明函数f（x)为周期函数（2)试求方程f（x）=0在闭区间【-2005，2005】上的根的个数。

谢谢！

Answer 1

(1)证明函数f(x)为周期函数
f(x)=f(2-(2-x))=f(2+(2-x))=f(4-x)=f(7-(3+x))=f(7+(3+x))=f(10+x)，这说明10是f(x)的一个周期（不一定是最小周期）,函数f(x)为周期函数.
（2)试求方程f(x)=0在闭区间【-2005，2005】上的根的个数。
f(1)=f(3)=0, 故对任意满足-2005≤10k+1≤2005或-2005≤10k+3≤2005整数k，f(10k+1)=f(10k+3)=0，满足上面不等式的k各有401个，共802个，在闭区间【-2005，2005】上的根的个数为802。

Answer 2

f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[07]上
那么有
f(2+x)=f(2-x)=f(7-(5+x))=f(7+5+x)=f(x+12)
则fx)=f(x+10),即为T=10的周期函数，
又一个周期内有两个数满足f(x)=0,（对称的半个周期[2,7]内只有f(3)=0）
且f(2005)=f(-2005)=f(5)不等于0
则根的个数=2*(2005+2005)/10=501*2=1002