Question

二次函数顶点公式

Answer 1

二次函数的顶点公式是指用来求解二次函数的顶点坐标的公式。二次函数的一般形式可以表示为：

f(x) = ax^2 + bx + c

其中，a、b、c分别为常数，x为自变量，f(x)为函数值。

二次函数的顶点是曲线的最高点或最低点，对应着函数的极值。顶点的横坐标称为顶点的x坐标，纵坐标称为顶点的y坐标。

对于一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过平方完成（完全平方式）将其转化为顶点形式。顶点形式的二次函数可以写成：

f(x) = a(x - h)^2 + k

其中，(h, k)为顶点的坐标，而a仍然表示二次函数的开口方向和曲线的凹凸性。

顶点公式可以通过以下步骤来推导：

1. 将二次项和一次项的系数提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c

2. 将括号内的部分进行平方完成：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c

3. 整理得到：f(x) = a(x - b/2a)^2 + c - (b^2/4a)

从中可以看出，顶点的横坐标 h = -b/2a，纵坐标 k = c - (b^2/4a)。

顶点公式的应用有助于确定二次函数的最值和图像的特征。通过求解顶点坐标，我们可以得到函数的最高点或最低点，并且可以判断二次函数的开口方向。具体而言：

- 当 a > 0 时，二次函数开口朝上，顶点为最小值点；

- 当 a < 0 时，二次函数开口朝下，顶点为最大值点。

通过顶点公式，我们可以方便地确定二次函数的顶点坐标，并在平面直角坐标系中绘制出函数的图像。这样，我们可以更好地理解和分析二次函数的性质和行为。