Question

请问∫x√(1+4x²)dx 怎么算，用了什么方法？

Answer 1

😳问题 : ∫x√(1+4x^2)dx 

👉不定积分

• 在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

• 不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

👉不定积分的例子

1. 『例子一』 ∫ dx = x+C

2. 『例子二』 ∫ cosx dx = sinx+C

3. 『例子三』 ∫ x dx = (1/2)x^2+C

👉回答

∫x√(1+4x^2)dx 

• 利用  d(1+4x^2) =8x dx
  

=(1/8)∫ √(1+4x^2) d(1+4x^2)

• 利用  ∫ x^n dx =[1/(n+1)]x^(n+1) + C

=(1/12)(1+4x^2)^(3/2) + C

• 得出
  

∫x√(1+4x^2)dx  =(1/12)(1+4x^2)^(3/2) + C

😄: ∫x√(1+4x^2)dx  =(1/12)(1+4x^2)^(3/2) + C

Answer 2

试用三角代换:

供参考，请笑纳。