Question

为什么定积分的区间是原函数的区间

Answer 1

假设区间A是[x,x+T],区间B是[y,y+T]，首先讨论x<y<x+T的情况。
区间A可分为x,y],[y,x+T]两个部分；区间B可分为[y,x+T],[x+T,y+T]两个部分。
[x,y]的定积分显然和[x+T,y+T]的定积分相等。所以区间A和区间B的定积分相等。
若y不在区间A内，取z=y+n*T,且x<=z<x+T。取区间C是[z,z+T],则区间A和区间C的定积分相等，C和B又相等。所以A和B相等。

以下是的相关介绍：

对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫作周期函数，不为零的常数T叫作这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT（k∈Z，且k≠0）都是它的周期。并且周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。

设f（x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f（x+T）=f（x），则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。

由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期，譬如狄利克雷函数。

以上资料参考百度百科——周期函数