Question

导数与连续的关系

Answer 1

设u=x,v=f(x)，则根据d(uv)=vdu+udv

∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]d(xf(x))-∫[0,1]xf'(x)dx

=[xf(x)]|[0,1]-∫[0,1]xf'(x)dx=∫[0,1]xf'(x)dx

利用积分第一中值定理：

|∫[0,1]f(x)dx|=|-∫[0,1]xf'(x)dx|

=|f'(x0)||∫[0,1]xdx|=|f'(x0)|/4 (其中x0属于[0，1])

记M=Max(0<=x<=1)|f'(x0)|

则|∫[0,1]f（x）dx|<=0.25M

关于函数的可导导数和连续的关系

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。