Question

关于x的方程2^2x + a.2^x + a +1=0有实根，求a的取值范围?

a.2^x即a乘以2的x次方

Answer 1

令m=2^x>0
则m^2+am+a+1=0
则方程要有正跟

若只有一个根
m^2+am+a+1=(m+a/2)^2-a^2/4+a+1=0
只有一个正根
则应该凑成完全平方
所以-a^2/4+a+1=0，x=-a/2>0
a<0
a^2-4a-4=0
a=2-2√2

若有两个根
判别式=a^2-4(a+1)=a^2-4a-4>0
a<2-2√2,a>2+2√2
m=[-a±√(a^2-4a-4)]/2
则只要大的根大于0即可
[-a+√(a^2-4a-4)]/2>0
-a+√(a^2-4a-4)>0
√(a^2-4a-4)>a
若a<2-2√2<0
左边大于0
所以不等式成立
若a>2+2√2>0
√(a^2-4a-4)>a>0
两边平方
a^2-4a-4>a^2
-4a-4>0
a<-1,和a>2+2√2矛盾
所以a<2-2√2

综上a≤2-2√2

Answer 2

令t=2^x 2^x>0，因此t>0
2^2x + a2^x + a +1=0
变为
t^2+at+a+1=0至少有一个正实根。
需要满足如下条件：
首先，判别式>=0
a^2-4(a+1)>=0
a^2-4a>=4
(a-2)^2>=8
a>=2（1+√2）或a<=2(1-√2)

再排除两实根均为负的情况。
两根之和<0
两根之积>0
即
-a<0 a>0
a+1>0 a>-1

当有一根为0时，代入方程t^2+at+a+1=0
a=-1
方程变为t^2-t=0
t(t-1)=0
另一根为t=1，满足题意。综上，a的取值范围为a<=2(1-√2)

Answer 3

设2^x=A，则原式为A^2+a.A+a+1=0，有实根，则 a^2-4（a+1）》=0，由此解的a的取值范围，注意A的取值为A》=0