Question

已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4与圆C:(x-1)²+(y-2)²=25.

(1)求证：直线l与圆C总相交；
（2）求出相交弦长的最小值及对应的m值。

Answer 1

(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
转化:(2x+y-7)m+(x+y-4)=0
联立：2x+y-7=0，x+y-4=0
得x=3,y=1
因为(3-1)²+（1-2）²=5<25 所以点（3，1）在圆内
所以过点（3，1）的直线l与圆总相交
（2）圆心（1，2）到点（3，1）的距离为根号5，因为半径为5，构造直角三角形，得弦长一半为2倍根号5
所以最短弦长为4倍根号5
因为圆心到点（3，1）的斜率为-1/2，所以直线的斜率为2
所以-（2m+1)/(m+1)=2
所以m=-3/4
呵呵，今天心情好就帮你做了，在数学上要加油哦

Answer 2

(1)将直线方程变形得(2x+y-7)m+x+y-4=0
由2x+y-7=0，x+y-4=0得x=3,y=1,所以直线过定点D(3,1),改点在圆内，所以直线与圆相交
(2)当CD⊥直线l时，弦最短，由C,D两点坐标求CD斜率，进而求直线l的斜率，l过点D，可得l的方程