Question

请教一道数列极限的证明题

设a>0,已知数列（Xn)定义如下：
Xo>0,Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn)) (n=0,1,2····）。求n-无穷大时，limXn

Answer 1

由于X[0]>0,a>0以及X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2，n=0,1,2,...可知{X[n]}是正项数列。
又因为X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2≥2√(X[n]*a/X[n])/2=√a, n=0,1,2,...
此式表明{X[n]}从X[1]以后都大于等于√a, 也就说数列{X[n]}有下界，

对于n≥1，由X[n]≥√a，所以X[n+1]/X[n]=(1+a/X[n]^2)/2≤1，也就是{X[n]}从X[1]以后递减。

单调下降有下界数列必有极限，
所以lim{n-->∞}X[n]存在，设为t
对Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn))两边取极限即得：
t=(t+a/t)/2
解得t=√a.

Answer 2

√a
在等号两边同时取极限 解得极限是根号a 和负的根号a

这里由于x0>0,a>0
负的排除

Answer 3

用Xn+1和Xn相比可得Xn是单调减函数，那么显然limXn=0