Question

高中数学不等式

设x1、x2、x3都是正数，且x1+x2+x3=1,求证x1/根号（1-x1)+x2/根号(1-x2)+x3/根号(1-x3)≥(根号x1+根号x2+根号x3)/根号2

Answer 1

解： 柯西不等式（均值定理），
因为：a1 a2 a3都是正数，b1 b2 b3都是正数，
则有 ： 根号(a1+a2+a3)x根号(b1+b2+b3)≥根号（a1b1+a2b2+a3b3),
当且仅当a1/b1=a2/b2=a3/b3时，取等号，
由题意得：
根号2=根号（(1-x1) + (1-x2) + (1-x3)），
x1/根号(1-x1) + x2/根号(1-x2) + x3/根号(1-x3)x 根号2 ≥ （根号x1 + 根号x2 + 根号x3）

补充：a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤√(a1^2＋a2^2＋…＋an^2) ×√(b1^2＋b2^2＋…＋bn^2)