Question

已知a²+b²=5 求2a+3b的最大值

初中数学
已知a²+b²=5 求2a+3b的最大值

Answer 1

要求2a + 3b的最大值，我们可以利用已知条件a²空宴 + b² = 5来进行求解。

首先，我们可以将2a + 3b表示为一个向量的内积，即(2, 3) · (a, b)。根据柯西-施瓦茨不等式，内积的最大值等于向量的模的乘积，当且仅当两个向量成比例时达到最大值。

所以，我们需要找到一个常数k，使得(2, 3) = k(a, b)。根据向量的相等，我们可以得到以下两个等式：

2 = ka

3 = kb

通过将第一个等式除以第二个等式，我们可以得到：

2/3 = a/b

将这个比值代入到a² + b² = 5中，我们可以得到：

(2/3)² + 1 = 5/9 + 1 = 14/9 = (a/b)² + 1

通过求解这个方程，我们可以得到a/b的值为±√(14/9 - 1) = ±√(5/9) = ±√5/3。

因此，当a/b = √5/3 时，2a + 3b的最大值达到。

将a/b = √5/3 代入到2a + 3b中竖早，我们可以得到最大值为 2(√5/3) + 3(1) = 2√5/3 + 3。

所以，2a + 3b的最大值为 2√5/3 + 3。

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