Question

函数的奇偶性

1.若f(x)在（负无穷，0）∪（0，正无穷）上为奇函数，且在（0，正无穷）上为增函数，f(-2)=0，则不等式x·f(x)<0的解集为_________.

2.若函数f(x)是奇函数，且方程f(x)=0有且只有三个根x1,x2，x3，则x1+x2+x3的值为________.

两道题麻烦各位大虾细致讲解，要过程，O(∩_∩)O谢谢。。。

Answer 1

1
g(x)=x,在x>0时，g(x)>0
在x<0时，g(x)<0
f(x)是奇函数，f(-2)=0,所以f（2）=0
又因为f（x）在0到正无穷上单调增，所以在0到2上f(x)<0,在2到正无穷上f(x)>0,再由奇函数的对称性可知，在负无穷到-2上f(x)<0,在-2到0上f(x)>0
综上所述xf(x)<0的解集为（-2,0）∪（0,2）

2
因为是奇函数啊，所以f（0）=0
即x1,x2,x3中有一个为0
不妨设x1=0，由奇函数关于原点对称可知，x2与x3必定互为相反数
所以x1+x2+x3=0

Answer 2

第1题用图象法
画函数y=f(x)的图象（你可自己画，注意单调性和奇函数的图象特点）
然后分类观察
当x>0时，f(x)<0,则0<x<2
当x<0时,f(x)>0,则-2<x<0
所以x·f(x)<0的解集为(-2,0)U(0,2)

第2题
注意图象的对称性
零点一定是对称分布的
所以x1+x2+x3的值为0