Question

一元三次方程简单解法

Answer 1

一元三次方程的简单解法如下：

一元三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为已知系数，且a≠0。解决一元三次方程，可以通过有理根定理、综合除法和二次配方法等来简化计算过程。

1、有理根定理

有理根定理指出，如果一个整系数多项式有有理根p/q（p、q互质），那么p是常数项的约数，q是首项系数的约数。首先可以尝试使用有理根定理来寻找可能的有理根。将p列举为常数项的约数，q列举为首项系数的约数，并代入方程进行验证。若验证成功，则找到一个有理根。

找到一个有理根后，可以使用综合除法将方程化简为二次方程，再通过求解二次方程的方法求得其它的根。如果通过有理根定理无法找到有理根，可以考虑使用数值方法求解，如牛顿法或二分法。

2、综合除法

综合除法是将一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0除以(x-r)，其中r是一个已知的根。执行综合除法可以得到一个二次方程，从而可以通过求解二次方程的方法求得其它的根。运用综合除法时，可利用长除法的思想，将每一项按照幂次逐步相除，最终得到一个二次多项式。

3、二次配方法

如果通过有理根定理和综合除法仍然无法找到根，可以考虑使用二次配方法。对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，可以通过变量代换y=x-p/3a（p为首项系数b的一半）将方程转化为y^3+qy+r=0。

然后可以进行变量代换，得到一个二次方程，并应用求解二次方程的方法求得根。最后再通过逆变换得到原方程的根。