Question

多元函数可微的定义

Answer 1

多元函数可微的几何意义是指：当一个多元函数可以微，其微分的几何意义有何作用。

在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。多元函数的可微性是一个重要的概念，它与函数的连续性和导数有关。

我们需要了解什么是多元函数的导数。对于一个二元函数 f(x,y)，它的偏导数可以表示为:

of/ax = lim(h-0) [f(x+h,y) - f(x,y)]/h

af/ay = lim(h-0) [f(x,y+h) - f(x,y)]/h

如果这两个偏导数都存在，那么我们可以定义它的导数为:

df/dx = f/0x

df/dy = af/0y

这个导数也被称为梯度，它是一个向量，指向函数在某一点上的最大增加方向。

多元函数的背景：

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。