Question

一道高中数学解析几何题

设M是圆x^2+y^2-6x-8y=0上的动点,O是原点,N是射线OM上的点,若|OM|*|ON|=150,求点N的轨迹方程.

Answer 1

设N（a，b）
则直线ON的方程为y=(b/a)x
直线ON与圆方程联立得x=（6a^2+8ab)/(a^2+b^2) y=(6ab+8b^2)/(a^2+b^2)
则M的坐标为（（6a^2+8ab)/(a^2+b^2)，(6ab+8b^2)/(a^2+b^2)）
则OM=（6a+8b)/根号（a^2+b^2)
OM*ON=(（6a+8b)/根号（a^2+b^2))*根号（a^2+b^2）=150
整理得6a+8b=150，即3a+4b-75=0
所以N的轨迹为3x+4y-75=0
(计算太麻烦了，不一定对，你再看看吧）

Answer 2

设M（x，y）
由于MNO共线所以设
N（λx,λy)
由|OM|*|ON|=150
所以： （x^2+y^2)(1+λ^2)=150*150=22500
由于：N在圆上：
所以：λ^2(x^2+y^2)-λ(6x+8y)=0①
由于：（x^2+y^2)(1+λ^2)=150*150=22500 ②
故：λ^2(x^2+y^2)=22500-x^2-y^2代入①
22500-x^2-y^2-λ(6x+8y)=0

即λ=(22500-x^2-y^2)/(6x+8y)
代入②从而消去λ
（x^2+y^2){1+【（22500-x^2-y^2)/(6x+8y)】
^2}=22500
基本上就这样了