Question

一道高中数学解析几何题

已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型
(2)当k=2时,求|2向量AP+向量BP|的最大,最小值

Answer 1

为了方便明了，向量符号均省略。
解：(1)由A(0,1),B(0,-1),C(1,0),设P（x，y）
则向量OP(x,y);
AP（x-1，y）；
BP（x+1，y）；
PC（1-x，-y）；
由AP*BP=k|PC|^2，代入得：
（x+1)(x-1)+y^2=k[(1-x)^2+(-y)^2];
解得：k=1；x=1；
代入得P（1，y）
即所求点P轨迹为直线x=1；

（2）由（1）中AP（x-1，y）；BP（x+1，y）；
代入|2AP+BP|得：
|2AP+BP|=|(3x-1,3y)|=[（3x-1）^2+9y^2]^(1/2)
由k=2时，代入（1）中的AP*BP=k|PC|^2，得：
（x-2）^2+y^2=1;
将其代进上式得：
|2AP+BP|=(30x-26)^(1/2)
由于（x-2）^2+y^2=1;几何意义为圆心为（2,0），半径R=1的圆，则其x的取值范围为[1,3];

分别将x=1和x=3代进|2AP+BP|=(30x-26)^(1/2)，得：
max=8；
min=2；
得解。