Question

一道高中数学解析几何题

已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型
(2)当k=2时,求|2向量AP+向量BP|的最大,最小值

Answer 1

（1）设p（a,b)
因为向量AP*向量BP=k|向量PC|^2
即：2|向量AP|*|向量BP|*cos角P=2k|向量PC|^2
且对于三角形ABP有：AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP*cos角p
即2AP*BP*cos角p=AP^2+BP^2-AB^2=AP^2+BP^2-4
联立
|向量AP|*|向量BP|*2cos角P=2k|向量PC|^2
2AP*BP*cos角p=AP^2+BP^2-4
得到AP^2+BP^2-4=2k|向量PC|^2
整理得AP^2+BP^2-2kPC^2=4
因为A，B，C三点的坐标以知，p（a，b）
则a^2+(b-1)^2+a^2+(b+1)^2=4+2k(a-1)^2+2kb^2
整理得：（1-k）x^2+(1-k)y^2+2kx=k+1
曲线类型忘了怎么看了，貌似要看k的范围的
（2）k=2,则p的轨迹为（x^2-2)^2+y^2=1
2向量AP+向量BP=(3x,3y-1)
|2向量AP+向量BP|=9x^2+9y^2-6y+1
从p的轨迹方程可得y^2=1-（x^2-2)^2
不好意思额，做不出来了，毕业太久了，全忘记了-_-|||
还有刚才那道题N的轨迹还要加上原点

Answer 2

（1）设P点坐标（x,y), 由向量坐标公式得(k-1)x^2-2kx+k+1+(k-1)y^2=0 应该是圆 （2）k=2时 得x^2-4x+3+y^2=0 大, 由 x^2-4x+3+y^2=0得 （x-2)^2+y^2=1 表示圆心为点（2，0） ，半径为1的园 知 |2向量AP+向量BP| 表示3倍向量op所对应的点P到点A的距离 接下去自己发挥