Question

不等式x^2－2ax－1＞0对一切1≤x≤3都成立，则实数a的取值范围是

Answer 1

x^2系数大于零，抛物线开口向上，而且Δ=4a^2+4>0，恒有Δ>0

所以此抛物线的图形应该是如图：

那么要使 不等式x^2－2ax－1＞0对一切1≤x≤3都成立，即

函数f（x）=x^2－2ax－1>0在区间[1,3]上恒成立

只要

区间[1,3]的端点处1、3都满足 不等式x^2－2ax－1＞0 就可以使整个区间都满足 x^2－2ax－1>0 ，所以

当x=1时带入不等式得： -2a>0 得a<0;

当x=3时带入不等式得：8>6a   得a<4/3;

综上可得 a 的取值范围是 a<0

Answer 2

反解。a＜0.

Answer 3

分离变量即为a<(x^2－1)/2x对于一切1≤x≤3都成立都成立，令
g（x)=<(x^2－1)/2x，求其最小值得g(x)min=g(1)=0
所以a<0

Answer 4

把式子整理成关于a的不等式a<(x^2－1)/2x，由于（x^2－1)/2x在1到3上是增函数，所以（x^2－1)/2x的最小值是0，即a<0