Question

已知f(x)是定义域为(-∞,0）∪(0，+∞)上的奇函数，在区间(0，+∞)上单调递增

已知f(x)是定义域为(-∞,0）∪(0，+∞)上的奇函数，在区间(0，+∞)上单调递增，当x>0时，f(x)的图像如图所示，若x[f(x)-f(-x)]<0，则x的取值范围是________

Answer 1

∵f(x)是定义域为(-∞,0）∪(0，+∞)上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)
∴x[f(x)-f(-x)]=2xf(x)
即求2xf(x)<0时x的取值范围
则由图像可知当-3<x<0或0<x<3时，xf(x)<0成立
则x的取值范围是（-3，0）∪（0，3）

Answer 2

f(-x)=-f(x),所以x[f(x)-f(-x)]<0
<=>2f(x)*x<0
所以讨论：当x<0时，要使f(x)>0，即有-3<x<0
当x>0时，要使f(x)<0，即有0<x<3
综上，x的取值范围是(-3,0)∪(0,3)
只要抓牢奇函数特征即可解题.....