Question

问一道数学问题

一个正方形是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为15，每个直角三角形的两直角边的和诗5，求小正方形的面积

这图像2002年国际数学家大会的会标
求详细解答 谢谢！

Answer 1

设直角三角形2直角边为X,Y 大正方形面积可以表示为:2XY+(X-Y)^2=15解得X^2+Y^2=15……① 已知X+Y=5所以X^2+Y^2+2XY=25……② 综合①②得XY=5 所以小正方形面积：S=（X-Y）^2=(X+Y)^2-4XY=5^2-4*5=5 OK

Answer 2

大正方形的面积为15，即三角形斜边的平方为15
设一个直角边为x
x^2+(5-x)^2=15
解得x=(5+√5)/2或x=(5-√5)/2，即较长的直角边为(5+√5)/2，较短的直角边为(5-√5)/2
小正方形边长为：(5+√5)/2-(5-√5)/2=√5
小正方形面积为：√5^2=5

Answer 3

证明：设三角形的直角边分别为x.y
正方形的面积为15，即斜边的平方为15
则有，15＝x'2+y'2＝（x+y)'2-2xy
四个三角形的面积和为2xy
则有2xy=(x＋y)'2-15=25-15=10
小正方形的面积为本15－10＝5