Question

一道椭圆题

直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD‖BC,AB=2,AD=3/2,BC=1/2,椭圆C1以A、B为焦点且经过点D。 若点E满足向量EC=1/2向量AB，问是否存在不平行AB的直线L与椭圆C1交与M、N两点且ME=NE？ 若存在 求出直线L与AB夹角的范围.

Answer 1

解：以AB为x轴、AB的中点为原点、向量AD的方向为y轴建立直角坐标系，则A(-1，0)、B(1，0)、D(-1，3/2)
设椭圆为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)，并设半焦距为c
依题意，|AB|=2，所以2c=2，即c=1
椭圆经过点D(-1，3/2)，所以(-1)²/a²+(3/2)²/b²=1
再结合a²=b²+c²
三个方程联立解得a=2，b=√3，c=1
所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1
因为向量EC=(1/2)向量AB，所以EC‖AB，时而可求得E(0，1/2)
假设存在直线L：x=my+b，并设M(x1，y1)、N(x2，y2)，并设MN的中点为P(xo，yo)，
将直线L与椭圆联立消x得(4-3m²)y²-6mby+(12-3b²)=0
其判别式△=(-6mb)²-4(4-3m²)(12-3b²)>0，化简得
3m²+b²>4 …………①
由韦达定理有
y1+y2=6mb/(4-3m²)
y1y2=(12-3b²)/(4-3m²)
所以yo=(y1+y2)/2=3mb/(4-3m²)，代回L的直线方程进而求得xo=4b/(4-3m²)，
因为ME=NE，所以PE⊥MN，所以PE与MN的斜率之积为-1，即(1/m)*(yo-1/2)/xo= -1，整理得
b=(4-3m²)/(14m) …………②
②代入①得3m²+[(4-3m²)/(14m)]²>4，解这个不等式得
m²<4/199或m²>4/3
若设直线L的斜率为k，则上面的结果即3/4<k²<199/4，即
√3/2<k<√199/2，或-√199/2<k<-√3/2