Question

若数列{an]满足前n项和Sn=2an-4,bn+1=an+2bn,且b1=2,

求: (1) bn ;
(2) {bn}的前n项和Tn

Answer 1

S1=a1=2a1-4 a1=4

sn=2an-4
s(n-1)=2a(n-1)-4
sn=s(n-1)+an

得到a2/a(n-1)=2
所以an是以4为首项，q=2的等比数列
an=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1)=2^(n+1)

b(n+1)=an+2bn=2^(n+1)+2bn

b1=2
b2=2^2+2*2=2*2^2
b3=2^3+2*2*2^2=3*2^3
...
bn=n*2^n
（可用归纳法严格证明）

Tn＝1*2^1+2*2^2+...+n*2^n
2Tn=1*2^2+2*2^3>...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)

相减有
Tn=n*2^(n+1)-(2^1+2^2+...+2^n)
=(n+1)*2^(n+1)-2

Answer 2

Sn=2an-4
S(n-1)=2a(n-1)-4
Sn-S(n-1)=an=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
首项:a1=2a1-4,a1=4
an=4*2^(n-1)=2^(n+1)
b(n+1)-2bn=an=2^(n+1)

Answer 3

(1)Sn=2An-4……（1）,n=1代入，得：A1=4，
Sn+1=（2An+1)-4……（2）,
（2）-（1），得：An+1=2An+1-2An,
An+1=2An,
数列{An}是首项为4，公比为2的等比数列，An=2^(n+1)
(2)Bn+1=An+2Bn=2Bn+2^(n+1)
Bn+1/2^(n+1)=(Bn/2^n)+1
即(Bn)/2^n是公差为1的等差数列，首项为B1/2^1=2/2=1,通项
(Bn)/2^n=n
(3)(Bn)/2^n=n，Bn=n*2^n
Tn=1*2^1+2*2^2+……+n*2^n
2Tn=1*2^2+2*2^3+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
相减得，-Tn=2^1+2^2+2^3+……+2^n-n*2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n*2^(n+1)
=(1-n)*2^(n+1)-2
Tn=(n-1)*2^(n+1)+2