Question

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已知函数f(x)=x2+2ax+b的图像过点（1,3）且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立，函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称
（1）求f(x)与g(x)的解析式
（2）若F=g(x)-λf(x)在（-1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围
（重点讲一下第二问，要过程，谢谢！！）

Answer 1

(1)已知函数f(x)=x2+2ax+b的图像过点（1,3）
即3=1+2a+b
f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,即对称轴为x=-1
-2a/2=-1 a=1
b=0
f(x)=x^2+2x
而函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称
令y=-y x=-x
-y=(-x)^2+2*(-x) y=-x^2+2x
即g(x)=-x^2+2x

(2)F=-x^2+2x-λx^2-2λx 对其求导
F'=-2x+2-2λx-2λ>0 (1+λ)x<(1-λ)
若1+λ>0 则λ>-1 x<(1-λ)/(1+λ)
满足(1-λ)/(1+λ)>1 λ<0
即-1<λ<0
若1+λ<0 则λ<-1 x>(1-λ)/(1+λ)
满足(1-λ)/(1+λ)<=-1 恒成立
即x<-1
若λ=-1 F'=4>0 单增
综上所述 λ的取值范围为（负无穷，0）