Question

求解一道恒等变形数学题

已知实数x,y 满足[(1+x^2)^(1/2)-x][(1+y^2)^(1/2)-y]=1
试猜想 x,y之间的关系式并给出证明

Answer 1

x+y=0！
两边分别乘[(1+x^2)^(1/2)+x]与[(1+y^2)^(1/2)+y]可得两式：
(1+y^2)^(1/2)-y=(1+x^2)^(1/2)+x
(1+x^2)^(1/2)-x=(1+y^2)^(1/2)+y
两式相加：-（x+y）=x+y
所以：x+y=0

Answer 2

[(1+x^2)^(1/2)-x][(1+y^2)^(1/2)-y]=1
两边同时乘以[(1+x^2)^(1/2)+x][(1+y^2)^(1/2)+y]
得[(1+x^2)-x^2][(1+y^2)-y^2]=[(1+x^2)^(1/2)+x][(1+y^2)^(1/2)+y]=1
所以[(1+x^2)^(1/2)-x][(1+y^2)^(1/2)-y]=[(1+x^2)^(1/2)+x][(1+y^2)^(1/2)+y]
得[(1+x^2)^(1/2)-x]/[(1+x^2)^(1/2)+x]=[(1+y^2)^(1/2)-y]/[(1+y^2)^(1/2)+y]
x/[(1+x^2)^(1/2)+x]=y/[(1+y^2)^(1/2)+y]
y(1+x^2)^(1/2)=x(1+y^2)^(1/2)
两边同时平方得y^2(1+x^2)=x^2(1+y^2)
得x^2=y^2所以x=-y